Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Лабораторные работы по физике Исследование упругих и тепловых свойств воздуха. Изучение явления электропроводности Электромагнитные волны Интерференция Явление дифракции Ядерная модель атома Атомное ядро.

Физика, лекции и конспекты

Электромагнитные волны.

Волновое уравнение для электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла для векторов  и  можно переписать в виде системы для проекций этих векторов на оси декартовой системы координат

;

 (3.3.1)

;

=0.

 В нейтральной однородной непроводящей среде, где плотность зарядов и плотность тока проводимости равны нулю, уравнения Максвелла запишутся

   (3.3.2)

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Это подтверждается тем, что, проведя ряд преобразований с уравнениями (3.3.2), можно получить уравнения   , (3.3.3)

.

Как видно, это волновые уравнения. Они неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из (3.3.2), которые связывают вектора  и . Они описывают волну векторов  и , распространяющуюся с фазовой скоростью

. (3.3.4)

В вакууме  и скорость электромагнитной волны (скорость света в вакууме)   . (3.3.5)

Это одна из фундаментальных физических констант. Тогда скорость волны в среде , (3.3.6)

где n – показатель преломления среды, который определяет во сколько раз скорость электромагнитной волны в среде меньше, чем в вакууме.

Свойства электромагнитных волн.

Установим основные свойства электромагнитной волны на примере плоской волны, распространяющейся в свободном пространстве (отсутствуют заряды и токи). 

1. Направим ось х перпендикулярно волновым поверхностям. При этом   и , а значит и их проек­ции на оси y и  z, не будут зависеть от координат y и z, т. е. со­ответствующие производные по y и z будут равны нулю. Поэто­му уравнения (3.3.1) упрощаются (останутся только про­изводные по x) и принимают вид:

   (3.3.7)

Из условий  и  следует, что Ex не зависит ни от x, ни от t, аналогично - для Hx. Это значит, что отличные от нуля Ex и Hx могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. А для переменного поля плоской волны Ex = 0 и Hx = 0, т.е. векторы  и  перпендикулярны направлению распространения волны – оси  x. Значит, электромагнитная волна является поперечной.

2. Кроме того, оказывается, векторы  и  в электромагнитной волне взаимно ортогональны. Чтобы убедиться в этом, объединим средние уравнения (3.3.7), содержащие, например, Ey и Hz, в пару:

  (3.3.8)

(можно было бы взять и другую пару, содержащую производные Ez и Hy). Из этих уравнений видно, что изменение во времени, скажем, магнитного поля, направленного вдоль оси z, порожда­ет электрическое поле Ey вдоль оси y. Изменение во времени поля Ey в свою очередь порождает поле Hz и т. д. Ни поля Ez, ни поля Hy при этом не возникает. А это и значит, что  ^ .

3.  и   являются решениями уравнений

 (3.3.9)

т.е. представляют собой гармонические функции

 (3.3.10)

Как видно из (3.3.9) частоты и волновые числа в этих выражениях одинаковы, отличаются лишь амплитуды и начальные фазы. Подставив эти решения в уравнения (3.3.8), получим

 (3.3.11)

Чтобы эти уравнения удовлетворялись в любой момент времени в любой точке пространства, нужно, чтобы . Таким образом колебания векторов и  в бегущей волне совпадают по фазе. Это значит, что Ey и Hz одинаковы в каждый момент по знаку, одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимума, что представлено на рис 3.3.1, который называется мгновенным снимком волны.

4. Найдем связь мгновенных значений Ε и Н. Рис.3.3.1.

Поскольку , соотношения (3.3.11) перепишутся

. (3.3.12)

Перемножив эти два равенства, получим

. (3.3.13)

Это соотношение связывает амплитуды колебаний Е и Н. Но поскольку фазы их колебаний совпадают, то мгновенные значения подчиняются такому же равенству

 (3.3.14)

Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.

С бегущей электромагнитной волной связан перенос энергии. Плот­ность потока энергии в этом случае можно найти как и для упругой волны через произведение плотности энергии w на скорость волны V (см.формулу (3.2.23)).

В обычной изотропной среде с проницаемостями ε и μ плот­ность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:

 (3.3.15)

В данной среде справедливо соотношение (3.3.14) между Ε и Н, а это означает, что плотность электрической составляющей в бегущей волне равна плотности магнитной. Поэтому (3.3.15) мож­но записать так:

 (3.3.16)

где V  – скорость волны.

Умножив w на V, получим модуль вектора плотности потока энергии:

 (3.3.17)

Векторы  и   взаимно ортогональны и образуют с направ­лением распространения волны правовинтовую систему. Зна­чит, направление вектора их векторного произведения  совпадает с направлением пере­носа энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Поэтому век­тор плотности потока электромагнитной энергии  можно представить как

. (3.3.18)

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны  называют вектором Пойнтинга.

В случае бегущей гармонической электромагнитной волны (3.3.10) плотность энергии, согласно (3.3.16) и (3.3.14), равна

Плотность же потока энергии, как следует из (3.3.17),

 (3.3.19)

где учтено, что скорость V определяется формулой (3.3.4).

Интенсивность I такой волны равна, по определению, сред­нему значению модуля плотности потока энергии: I = <S>. Принимая во внимание, что при усреднении (3.3.19) среднее значение квадра­та косинуса равно 1/2, получим

 (3.3.25)

Домножив и поделив подкоренное выражение в этой формуле на   и учтя (3.3.5) и (3.3.6), получим

,

или для волны, распространяющейся не ферромагнитной среде ( мало отличается от единицы)  (3.3.27)

Обратим внимание, что I пропорционально квадрату амплиту­ды, I ~ Еm2 . Необходимо отметить также, что интенсивность электромагнитной волны выражают обычно через напряженность ее электрической составляющей, поскольку, как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света обусловлены именно ею.

Стоячая электромагнитная волна.

Мы уже говорили, что стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к элект­ромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнит­ная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаим­но ортогональными векторами  и .

Пусть волна распространяется в положительном направле­нии оси х и описывается уравнениями

 (3.3.28)

 Для волны, распространяющейся в обратном направлении, как мы знаем, в скобках мину­сы заменяются на плюсы. Кроме того, будем помнить, что векторы ,,  должны составлять правую тройку.

Это поясняет рис.3.3.2, где в части (а) показаны возможные ориентации векторов  и  в волне, распространяющейся в прямом, а в части (б) – в обратном направлении. Рис.3.3.2. 

Таким образом, при сложении волн

либо векторы , либо  будут иметь противоположные направления, а, значит, при векторном сложении их модули будут вычитаться. Итак, уравнения встречной вол­ны будут иметь вид:

   (3.3.29)

или . (3.3.30)

В результате суперпозиции двух встречных волн, (3.3.28) и (3.3.29), получим:

   (3.3.31)

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Видно, что в этой волне колебания векторов  и  сдвинуты по фазе на π/2 как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент Ey во всех точках имело максимальное зна­чение и при этом Hz = 0, то через четверть периода картина будет обратной: Hz достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на λ/4, а Ey обратится в нуль. Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле посте­пенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое Рис.3.3.3.

 и т. д. (см. рис.3.3.3). Поскольку колебания векторов  и  происхо­дят не в фазе, соотношение (3.3.13) оказывается справедливым только для амплитудных значений Εm и Ηm стоячей волны:

 (3.3.32)

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чис­то электрической, имеющей максимумы в пучностях , в маг­нитную с максимумами в пучностях вектора , т. е. смещенным в пространстве на λ/4. Таким образом, происходит преобразование энергии электрического поля в энергию мгнитного и наоборот на расстоянии четверти длины волны. Это аналогично поведению гармоническо­го осциллятора, например математического маятника, где энер­гия переходит из чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот. Макроскопического переноса энергии не происходит. Отсюда и название волны – стоячая.

Электромагнитная волна на границе раздела диэлектриков

Выясним, что происходит при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных изотропных прозрачных диэлектриков, магнитная проницаемость которых равна единице (µ = 1). Известно, что при этом возникают отраженная и преломленная волны. Ограничимся рассмотрением частного, но практически важного случая, когда волна падает нормально на границу раздела диэлектриков с показателями преломления n1 и n2.

Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через  и , а магнитную составляющую — через  и . Из соображений симметрии ясно, что колебания векторов  и  происходят в одной плоскости. Это же относится и к векторам  и . На рисунке показаны относительное расположение этих векторов в непосредственной близости от границы раздела и направления распространения всех трех волн, обозначенные векторами ,  и. Дальнейший расчет покажет, насколько эта картина соответствует действительности.

Воспользуемся граничными условиями для

тангенциальных составляющих векторов  и : Рис.3.3.4.

   (3.3.33)

Перепишем эти условия для нашего случая:

 (3.3.34)

 (3.3.35)

Согласно (3.3.14),  

Тогда  но   поскольку проекции E’y и Н’z, в отраженной волне имеют противоположные знаки (см. рис.3.3.4). Поэтому равенство (3.3.35) можно переписать так:  или

 (3.3.36)

Решив совместно уравнения (3.3.34) и (3.3.36), получим выражения для Е’y и Е”y через Еy, которые в векторной форме имеют вид:

   (3.3.37)

Отсюда следует, что:

1. Вектор  всегда сонаправлен с вектором , т. е. оба вектора колеблются синфазно — при прохождении волны через границу раздела фаза не претерпевает скачка.

2. Это же относится и к векторам  и , но при условии, что n1 > n2, т. е. если волна переходит в оптически менее плотную среду. В случае же, когда n1 < n2, дробь в выражении (3.3.37) для  оказывается отрицательной, а это означает, что направление вектора  противоположно направлению вектора , т. е. колебания этих векторов происходят в противофазе (этому соответствует рис.3.3.4). Другими словами, при отражении волны от оптически более плотной среды фаза колебаний вектора изменяется скачком на π.

Эти результаты мы будем использовать в дальнейшем при изучении интерференции волн, отраженных от поверхностей тонких пластинок.

Коэффициенты отражения и пропускания.

Вопрос об этих коэффициентах мы рассмотрим для случая нормального падения световой волны на границу раздела двух прозрачных диэлектриков. Ранее мы выяснили, что интенсивность I гармонической волны, пропорциональна . Коэффициент отражения, по определению, есть . После подстановки отношения Е’m /Еm из первой формулы (3.3.37), найдем:

 (3.3.38)

Обратим внимание на то, что r не зависит от направления падающей волны на границу раздела: из среды 1 в среду 2, или наоборот. При небольшой разнице показателей преломления граничащих сред этот коэффициент оказывается очень небольшим (на границе стекло – воздух он составляет 0,04)

Аналогично находим и коэффициент пропускания t как отношение I’’/I. Согласно (3.3.27), I”/I = . Остается учесть вторую формулу из (3.3.37), и мы получим, что коэффициент пропускания

 (3.3.39)

Нетрудно убедиться в том, что сумма обоих коэффициентов r + t = 1, как и должно быть.


Лабораторные работы по физике, лекции и конспекты