Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика для экономистов Математический анализ Примеры решения задач контрольной работы Линейные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка Линейная модель торговли

Математика для студентов экономических специальностей

Понятие производной n-го порядка

Производная f'(x) функции f(x) сама является функцией аргумента х, и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить. Производные начиная со второй называются производными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у(4), у(5), ..., у(n) (для второй и третьей производных соответственно еще и у(2) и у(3)) или вместо у пишут f(x): f"(x), f"(х), ..., f(n)(x).

Производная n-го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (n — 1)-го порядка: y(n) = (y(n-1))'

Рассмотрим несколько примеров на вычисление производных высших порядков.

Пример 1. Найти производную второго порядка от функции у = х3 + 2х.

Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее:

Пример 2. Найти производную второго порядка от функции .

Решение. Сначала находим первую производную сложной функции:

Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций: 

Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции у = х In х.

Решение. Последовательно находим

Пример 4. Найти производную n-го порядка от функции y = e2x.

Решение: Находим

т.е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функции сомножитель 2. Отсюда получаем 

В заключение укажем формулы для вычисления производных n-го порядка для функций sin х и cos х. Нетрудно убедиться, что

УПРАЖНЕНИЯ

Найти производные следующих функций.

4.1. у = x3 + 3x2 – 2x + 1. 4.2. у = 5x7 + 3x3 – 4x - 1. 4.3. у = + .

4.4. y =  4.5. y =  

4.6. у = 3x5 + 2 sin x + 5 tg x. 4.7. у =  4.8. у = log2 х — 3 log3 x. 4.9. у = 3ex + arctg х — arcsin x.

4.10. y = 5x + 6x + . 4.11. у = x2 tg x. 4.12. у=

4.13. у = + x arccos x. 4.14. у = х2 log3 х - ex tg x.

4.15. у =. 4.16. у = + x tg x. 4.17. y = .

4.18. y = . 4.19. y = . 4.20. y =.

4.21. y = x2 - , нaйти f'(2) - f(-2)

4.22. у = x ln x, найти f'(1), f'(e), f'(1/e), f'(1/e2).

4.23. у = sin 4x. 4.24. у = cos (x2 – 2x + 1). 4.25. у = sin2 х. 4.26. у =. 4.27. у = tg3 х. 4.28. у = ln (x2 + ).

4.29. у = arctg . 4.30. у = ln ln x. 4.31. y = arcsin.

4.32. у = arctg2 . 4.33. у = esinx. 4.34. у = ln2 sin x.

4.35. у = xх. 4.36. у = xcosx. 

Составить уравнения касательных к графикам следующих функций.

4.37. у = x2 в точке М (1, 1). 4.38. у = ln х в точке М (1, 0).

4.39. у = е2x в точке пересечения с осью Оу.

4.40. Найти угол наклона к оси Ох касательной к гиперболе у = 1 / х в точке (1, 1).

4.41. Найти приближенное приращение функций у = х2, если x = 2 и Δx = 0,01.

4.42. С помощью дифференциалов найти приближенные значения: а) , б) , в) , г) , д)

Найти производные второго порядка от функций:

4.43. у = tg х. 4.44. у = sin2 x. 4.45. у =  . 

4.46. у = x sin x. 4.47. у = .

Найти производные третьего порядка от функций:

4.48. у = x e-x. 4.49. у = ex sin x. 4.50. у = x ln x.

Найти производные n-го порядка от функций:

4.51. у = ln x. 4.52. у = sin 2x. 4.53. у = 3х. 4.54. у = x2 ln x. 4.55. у = х cos x. 4.56. у = x3еx.


Основные правила интегрирования