Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика для экономистов Математический анализ Примеры решения задач контрольной работы Линейные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка Линейная модель торговли

Математика для студентов экономических специальностей

Максимизация прибыли

Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — функция дохода; C(Q) — функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведенного товара дается формулой

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Оба упомянутых предельных показателя определяются по аналогии с (5.14а), так что этот принцип можно записать в виде R'(Q) = C'(Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (5.16) следует, что П'(Q) = 0, откуда и получается основной принцип.

Пример 4. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

Решение. Согласно (5.16), прибыль П(Q) = - Q3 + 36Q2 - 69Q — 4000. Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение

Корни этого уравнения Q1 = 1, Q2 = 23. Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при Q = 23: Пmах = 1290.

Закон убывающей эффективности производства

Этот закон утверждает, что при увеличении одного из основных факторов производства, например капитальных затрат К, прирост производства начиная с некоторого значения К является убывающей функцией. Иными словами, объем произведенной продукции V как функция от К описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх.

Пример 5. Пусть эта функция дается уравнением

где b и с — известные положительные числа (они определяются прежде всего структурой организации производства), а Vlim — предельно возможный объем выпускаемой продукции. Нетрудно подсчитать, что вторая производная функции (5.17) имеет вид

Критическая точка находится из условия V"(K) = 0, откуда

График функции (5.17) приведен на рис. 5.10. В точке перегиба (5.18) выпуклость графика функции вниз меняется на выпуклость вверх. До этой точки увеличение капитальных затрат приводит к интенсивному росту объема продукции: темп прироста объема продукции (аналог первой производной) возрастает, т.е. V"(K) > 0. При К > Кcr темп прироста объема выпускаемой продукции снижается, т.е. V"(K) < 0, и эффективность увеличения капитальных затрат падает.

Таким образом, в стратегии капиталовложений оказывается очень важным моментом определение критического объема затрат, сверх которого дополнительные затраты будут приводить все к меньшей отдаче при данной структуре организации производства. Зная этот прогноз, можно пытаться совершенствовать и менять структуру организации производства: "улучшать" показатели b, с и Vlim в сторону повышения эффективности капиталовложений.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы с использованием правила Лопиталя.

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .

5.5. . 5.6. . 5.7. .

5.8. . 5.9. .

5.10. . 5.11. .

5.12. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = tg x до члена с x3 включительно.

5.13. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = e-x до члена с x2 включительно.

Найти пределы с использованием разложений по формуле Маклорена.

5.14. . 5.15. .

5.16. . 5.17. .

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций.

5.18. . 5.19.

5.20. .

Найти асимптоты графиков функций.

5.21. . 5.22. .

5.23. .

Исследовать и построить графики функций.

5.24. . 5.25. .

5.26. . 5.27.  .

5.28. . 5.29. .

5.30. . 5.31.

5.32. . 5.33..

Решите задачи на наибольшее и наименьшее значения.

5.34. Разложить число 12 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

5.35. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V, при которых на облицовку дна и стен пойдет наименьшее количество материала.

5.36. Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Ох найти точку, сумма расстояний от которой до точек А и В наименьшая.

Решите задачи с экономическим содержанием.

5.37. Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией С = 30Q — 0,08Q3. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции: а) Q = 5 ед., б) Q = 10 ед.

5.38. Функции долговременного спроса D и предложения S от цены р на мировом рынке нефти имеют соответственно вид

1) Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2) Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25%?

5.39. Функции спроса D и предложения S от цены р выражаются соответственно уравнениями

Найти эластичность спроса и предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10%.

5.40. Зависимость объема выпуска продукции V от капитальных затрат К определяется функцией V = V0 ln (4 + K3). Найти интервал изменения К, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.


Основные правила интегрирования