Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика для экономистов Математический анализ Примеры решения задач контрольной работы Линейные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка Линейная модель торговли

Математика примеры решения задач контрольной работы

Линейные уравнения первого порядка

Определение 7. Уравнение вида

где р(х) и q(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q(x)  0, то уравнение (9.7) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (9.7) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение

Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию

тогда

Поделим обе части уравнения (9.9) на уn:

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x):

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z(x) связана с искомой функцией у(x) соотношением (9.10).

Рассмотрим примеры решения неоднородных уравнений первого порядка.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Последовательное интегрирование в формуле (9.8) при р(х) = x2 и q(x) = х2 дает

(этот интеграл берется с помощью подстановки t = х3 в формулу (9.8)). Получаем решение дифференциального уравнения:

Решение. Тот же прием, что и в предыдущем примере, при р(х) = 1/х и q(x) = eх дает нам решение

Решение. Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при п = 3. Заменой искомой функции z = у-2, согласно (9.10) и (9.11), получим линейное неоднородное уравнение относительно z(х)

По формуле (9.8) получаем общее решение этого уравнения:

Теперь, выполняя обратную замену у = ±1/, получаем решение исходного нелинейного уравнения:

УПРАЖНЕНИЯ

Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

Найти частные решения уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

Найти общее решение линейных уравнений.

Решить уравнения Бернулли.

Дифференциальные уравнения второго порядка Основные понятия теории Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно ее первая и вторая производные.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида где y – искомая функция, а р(х), q(x) и f(x) – известные функции, непрерывные на некотором интервале (a, b).

Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы существования и единственности решения для уравнения второго порядка определена задача Коши, когда в точке х = x0 заданы значения неизвестной функции и ее производной

Аппарат дифференциальных уравнений в экономике В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(t).

Элементы линейной алгебры ВЕКТОРЫ Векторное пространство Понятие и основные свойства вектора Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.


Основные правила интегрирования