Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика для экономистов Математический анализ Примеры решения задач контрольной работы Линейные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка Линейная модель торговли

Математика примеры решения задач контрольной работы

Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (10.1) называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные  и , непрерывны в некоторой области D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у'0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее условиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (x0, y0) на координатной плоскости Оху проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y0' касательной (рис. 10.1).

Условия (10.3) называются начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D называется функция у = φ(х, С1, С2), если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: у = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение у" = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

т.е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное решение — это прямая у = х + 1.

10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнение вида

Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: z' = f(x), решением которого является функция z(х) =  f(x) dx + С1. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравнения (10.4):

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит в явном виде у. Как и в предыдущем случае, положим z(x) = у'. Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее решение этого уравнения z = φ(x, C1), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (10.5):

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

3. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь мы вводим новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции

то уравнение (10.6) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции z(y):

Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С1). Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х)

из которого методом разделения переменных получаем функциональное соотношение для определения общего решения уравнения (10.6):

где С1 и C2 — произвольные постоянные.

Рассмотрим два примера решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Это уравнение вида (10.5), поскольку оно не содержит в явном виде у. Заменой z(x) = у' приведем его к уравнению первого порядка  = -xz2, откуда имеем z = , или у' = . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения:

где С1 и С2 — произвольные постоянные. В зависимости от выбора знака С1 интеграл в правой части этого равенства (обозначим его через I) может иметь разные выражения:

Решение. Это уравнение вида (10.6), т.е. оно не содержит явно независимой переменной х. Заменой z(y) = у' сведем его к уравнению первого порядка

Первое решение этого уравнения z = 0, или у = С, где С — постоянная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на z, получаем  — z = 0. Решение этого уравнения методом разделения переменных у и z дает z = С1ey. Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка

Разделение переменных x и у приводит к общему решению исходного уравнения: e-ydy = C1dx, откуда e-y = С1х + С2, или окончательно

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение у = С, указанное выше (при С1 = 0, С2 ≠ 0).

Далее мы рассмотрим наиболее употребимый в математических приложениях вид дифференциальных уравнений второго порядка.


Основные правила интегрирования